פתרונות , כך שאי השוויון המבוקש הוא ברור מאליו ולכן גם קודמו תקף ובכך מוכחת המונוטוניות העולה של הסדרה הנתונה.

בחינת סיווג במתמטיקה.9.017 פתרונות.1 סדרת מספרים ממשיים } n {a נקראת מונוטונית עולה אם לכל n 1 מתקיים n+1.a n a האם הסדרה {n a} n = n היא מונוטונית עולה? הוכיחו תשובתכם. הסדרה } n a} היא אכן מונוטונית עולה. נבדוק באופן ישיר כי תנאי המונוטוניות מתקיים עבור סדרה זו. צריך להראות כי: n n n + 1 n + 1 לכל n. N אי השוויון הזה שקול לאי השוויון n 1 n 1 וכדי להוכיח )כדרוש( אי שוויון זה, נעלה את שני האגפים בריבוע ונקבל: n 1 ( n 1) n 1 n אי שוויון שבו אגף ימין מתקבל מאגף שמאל על ידי חיבור של מספר חיובי ( n), כך שאי השוויון המבוקש הוא ברור מאליו ולכן גם קודמו תקף ובכך מוכחת המונוטוניות העולה של הסדרה הנתונה.. נניח כי = p 1 p p 10 כאשר p 1 < p < p 3 < < p 10 הם מספרים ראשוניים. מהו מספר המספרים השלמים z ) z 1( כך ש - מתחלק ב z ללא שארית, כלומר הוא מספר שלם? z מספר z מחלק את אם ורק אם הוא מכפלה של גורמים ראשוניים של, או ש- 1. z לפיכך המכפלה של אברי כל תת קבוצה של גורמים ראשוניים אלה )לרבות הקבוצה הריקה המתאימה למחלק ) z 1 מחלקים אחרים. מחלקת את. מאחר שלפי הנתון כל הגורמים הראשוניים של כפועל יוצא, מספר המחלקים המבוקש של הוא כמספר כל תת הקבוצות של עשרת הגורמים הראשוניים של. לפי עקרון המכפלה הקומבינטורי, מספר האפשרויות לבנות תת קבוצה כלשהי מקבוצה בת עשרה איברים הוא 10... 104 שונים זה מזה אין ל-

כי לכל איבר יש שתי אפשרויות: להשתייך לתת הקבוצה או למשלים שלה. לפיכך, המספר הכולל של תת הקבוצות )לרבות הקבוצה הריקה והקבוצה כולה( של קבוצה בת עשרה איברים הוא. המבוקש של 10 104 (log )(log y) (log. מתי מתקיים שוויון? (y)).3 הוכיחו כי לכל > 0 y, מתקיים וזהו כאמור מספר המחלקים הפורמאט של אי השוויון המבוקש מזמין שימוש באי שוויון הממוצעים. אך כדי להשתמש בו, יש לוודא תחילה שבלי הגבלת הכלליות ניתן להניח כי log, log y > 0 ואכן ניתן להניח זאת, כי צד ימין של האי שוויון הוא בכל מקרה חיובי )ריבוע של מספר( ולכן אם צד שמאל הוא שלילי אז האי שוויון מתקיים באופן טריביאלי. המקרה שבו שני גורמי המכפלה הם שלילים וצד שמאל של האי שוויון נותר חיובי, מחזיר אותנו למקרה שבו שני הגורמים חיוביים. נשתמש אפוא באי שוויון הממוצעים שלפיו: (log )(log y) log + log y = log (y) כאשר השוויון האחרון נובע מההגדרה של פונקצית הלוגריתם שלפיה הלוגריתם של מכפלה הוא סכום הלוגריתמים. נעלה בריבוע את השני אגפי האי שוויון ונקבל: וגם (log )(log y) (log (y)) 4 (log (y)) כפי שרצינו. כדי לקבל שוויון, עלינו לדרוש שוווין באי שוויון הממוצעים, וגם שווין באי שוויון האחרון. כלומר: log = log y (log (y)) 4 = (log (y)) וזה קורה אם ורק אם = 0 y, log = log כלומר = 1 y. =

4. היחס בין רוחב מלבן )אורך הצלע הקצרה שלו( לבין ארכו מקיים את המשוואה: 1 ). = 1) + מהו קוסינוס הזוית בין אלכסון המלבן לצלע הארוכה שלו? תחילה נפתור את המשוואה המוצגת בשאלה. נכפיל את שני האגפים ב- ) + 1) ונציב. t = קיבלנו: הפתרונות של המשוואות האלו: t + t = t = 3 or t = t = = אבל מכיוון ש- 0 t נקבל כי: נסמן את אורך הצלע הקצרה במלבן באות. a מנתון השאלה, ניתן להסיק כי אורך הצלע הארוכה שלו הוא a וממשפט פיתגורס אורך האלכסון של המלבן הינו 3. a מכאן, הקוסינוס המבוקש של הזווית בין אלכסון המלבן לצלע הארוכה שלו הוא: כנדרש. a 3a = 3 (1 + + + n ) n(n + 1)(n + 1) = 1 5. הוכיחו כי לכל מספר טבעי n 1 מתקיים השוויון: נוכיח באינדוקציה את הטענה השקולה: 1 + + + n = n(n + 1)(n + 1) נתחיל מבסיס האינדוקציה. עבור = 1 n מתקיים:

1 = 1()(3) וזה נכון באופן טריביאלי. כעת נראה את צעד האינדוקציה. נניח כי הטענה נכונה עבור n ונוכיח את נכונותה עבור + 1 n. אכן: 1 + + n + (n + 1) = n(n + 1)(n + 1) + (n + 1) = (n + 1) (n = (n + 1)(n + )((n + 1) + 1) + 7n + ) = (n + 1) (n(n + 1) + (n + 1)) כאשר השוויון הראשון נובע מהנחת האינדוקציה והשאר מפישוטים אלגבריים פשוטים. הוכחנו את צעד האינדוקציה ולכן הוכחנו את נכונות הטענה כולה.. מצאו את כל הפתרונות )מרוכבים / ממשיים / מדומים( של המשוואה = 0 4 10 z.z + הצבת z = a + ib במשוואה ופיתוח אלגברי פשוט מובילים למשוואה: a b + abi = 4 10 a + b ab = 0 a = 0 or b = 0 צד ימין של השוויון הנ"ל הינו מספר ממשי, ולכן גם צד שמאל חייב להיות. מכאן ניתן להסיק: z 0 a 0 המקרה b אינו רלבנטי לעניינינו כי אינו מקיים את המשוואה הנתונה. לפיכך נותר לבדוק שני מקרים: א( : a 0, b 0 במקרה זה המשוואה הופכת להיות: b = 4 10 b נבחין כי משוואה זו היא סימטרית ב- b סביב 0 )כלומר, אם b הוא פתרון של המשוואה אז גם b פתרון. לכן ניתן להניח כי > 0 b. הפתרונות המתקבלים במקרה זה הם: b = ±, ±4

ב( : a 0, b 0 במקרה זה המשוואה הופכת להיות: a = 4 10 a גם כאן, המשוואה סימטרית ב- a סביב 0. פותרים ומקבלים כי: a = ±1, ± לכן, שמונת המספרים הבאים )4 ממשיים ו- 4 דמיוניים(: z = ±1, ±, ±i, ±4i מהווים את כל הפתרונות של המשוואה הנתונה. 7. א( האם אפשר לחשב את sin(3) באופן חד משמעי בהינתן?sin() ב( האם אפשר לחשב את sin() באופן חד משמעי בהינתן?sin(3) בכל אחת משתי השאלות, אם התשובה היא כן, מצאו נוסחה המבטאת את הגודל האחד באמצעות האחר, אם התשובה היא לא, הציגו הוכחה לכך. תזכורת: sin( + y) = sin() cos(y) + cos() sin (y) cos( + y) = cos() cos(y) sin() sin (y) א. התשובה חיובית אפשר לחשב. נבחין תחילה כי ניתן לחשב את () cos בהינתן (), sin פשוט בעזרת הנוסחא המפורסמת )השקולה למשפט פיתגורס, לא רק נובעת ממנו(: כעת, בעזרת הזהויות שהופיעו בתזכורת: cos() = 1 sin sin(3) = sin( + ) = sin() cos() + sin() cos() ולכן, אם ניתן לחשב את () cos ואת sin() בעזרת () cos ו sin() לחשב אותם, שוב - בעזרת הזהויות הנתונות בתזכורת: אז סיימנו. אכן ניתן sin() = sin( + ) = sin() cos() cos() = cos( + ) = cos sin

ב. ולכן ניתן לחשב את (3) sin אם אנחנו יודעים את הערך של (), sin כפי שנטען במענה לשאלה. בדרך כלל לא ניתן לחשב את () sin באופן חד משמעי בהינתן.sin(3) נראה זאת על ידי דוגמא: נניח כי = 0,sin(3) אז מתקיים: ועבור )למשל( 3 = πk, k Z k 0,1, מקבלים בהתאמה 0, 3 אבל ) 3 sin(0) = 0 sin ( π, ולכן לא ניתן לקבוע באופן חד משמעי מהו הערך של.sin()